निश्चित समाकल intlimits_0^{frac{1}{{sqrt 2 }} | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int\limits_0^{\frac{1}{{\sqrt 2 }}} {\frac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} \,(1 + \sqrt {1 - {x^2}} )}}} $. $x = \sin 	heta$ प्रतिस्थापि

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi }{4} - \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int\limits_0^{\frac{1}{{\sqrt 2 }}} {\frac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} \,(1 + \sqrt {1 - {x^2}} )}}} $. $x = \sin 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \cos 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$,तो $	heta = 0$ और जब $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$,तो $	heta = \frac{\pi}{4}$। इन मानों को समाकल में रखने पर: $I = \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^2 	heta \cos 	heta \, d	heta}{\cos 	heta (1 + \cos 	heta)} = \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^2 	heta}{1 + \cos 	heta} \, d	heta$. सर्वसमिका $\sin^2 	heta = 1 - \cos^2 	heta = (1 - \cos 	heta)(1 + \cos 	heta)$ का उपयोग करने पर: $I = \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{(1 - \cos 	heta)(1 + \cos 	heta)}{1 + \cos 	heta} \, d	heta = \int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} (1 - \cos 	heta) \, d	heta$. समाकलन करने पर: $I = [	heta - \sin 	heta]_0^{\frac{\pi}{4}} = (\frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4}) - (0 - \sin 0) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{\sqrt{2}}$. अतः,सही विकल्प $C$ है।

निश्चित समाकल $\int\limits_0^{\frac{1}{{\sqrt 2 }}} {\frac{{{x^2}dx}}{{\sqrt {1 - {x^2}} \,(1 + \sqrt {1 - {x^2}} )}}} $ का मान ज्ञात कीजिए।

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